Konvergenzsätze — die Stars der Maßtheorie
Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi)
Sei (fₙ) eine Folge messbarer Funktionen mit 0 ≤ f₁ ≤ f₂ ≤ ... und fₙ → f punktweise. Dann:
∫ f dμ = lim ∫ fₙ dμ.
∫ f dμ = lim ∫ fₙ dμ.
Lemma von Fatou
Für messbare fₙ ≥ 0: ∫ liminf fₙ dμ ≤ liminf ∫ fₙ dμ.
Satz von der dominierten Konvergenz (Lebesgue)
Sei fₙ → f punktweise (oder f.ü.). Existiert g ∈ L¹ mit |fₙ| ≤ g f.ü. für alle n, dann:
lim ∫ fₙ dμ = ∫ f dμ.
lim ∫ fₙ dμ = ∫ f dμ.
Wofür?
Diese Sätze erlauben das Vertauschen von Grenzwert und Integral — die Voraussetzung für Stochastik (Erwartungswert, Konvergenz von Zufallsvariablen) und für PDE-Theorie. Ohne sie ist moderne Analysis undenkbar.
EselsbrückeMonoton — wachsend, kein Limit nötig. Fatou — Ungleichung, immer anwendbar. Dominiert — durch "große Schwester" gebremst.