σ-Algebren — was ist messbar?
σ-Algebra A über X: Eine Mengenfamilie mit drei Eigenschaften:
- X ∈ A (Grundmenge gehört dazu).
- A ∈ A ⇒ X \ A ∈ A (abgeschlossen unter Komplement).
- (Aₙ) ⊆ A ⇒ ⋃ Aₙ ∈ A (abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung).
Warum nicht einfach alle Teilmengen?
Es gibt "pathologische" Mengen (Vitali-Mengen), die kein konsistentes Maß zulassen. Wir beschränken uns auf eine σ-Algebra messbarer Mengen.
Borelsche σ-Algebra
𝓑(ℝⁿ) := kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Enthält praktisch alle Mengen, die in der Analysis auftreten.
Beispiele
- {∅, X} — triviale σ-Algebra.
- 𝒫(X) — Potenzmenge (alle Teilmengen).
- 𝓑(ℝ) — Borel-Mengen: enthält Intervalle, abzählbare Mengen, abgeschlossene Mengen.
- Lebesgue-σ-Algebra: Borel + alle Nullmengen-Veränderungen.