Maße & das Lebesgue-Maß
Maß μ: A → [0, ∞] mit:
- μ(∅) = 0
- σ-Additivität: Für disjunkte (Aₙ): μ(⋃ Aₙ) = Σ μ(Aₙ)
Wichtige Maße
| Maß | Wert auf A | Wo lebt es? |
|---|---|---|
| Zählmaß | |A| (Anzahl) | Diskret |
| Dirac-Maß δ_a | 1 wenn a ∈ A, sonst 0 | Punkt-Mass |
| Lebesgue-Maß λ | "klassische Länge/Fläche" | ℝⁿ |
| Wahrscheinlichkeitsmaß | P(A) ∈ [0,1], P(Ω) = 1 | Stochastik |
Lebesgue-Maß auf ℝ — Eigenschaften
- λ([a, b]) = b - a (klassische Länge).
- λ(Q) = 0 (rationale Zahlen sind Lebesgue-Nullmenge — abzählbar!).
- λ(Cantor-Menge) = 0 (überraschend, obwohl überabzählbar!).
- Translationsinvariant: λ(A + x) = λ(A).
Nullmengen-MagieEine Eigenschaft gilt "fast überall" (f.ü.), wenn sie außerhalb einer Nullmenge gilt. Zwei Funktionen, die f.ü. übereinstimmen, haben dasselbe Lebesgue-Integral.