Gleichungen mit x²
Definition · Quadratische Gleichung
Allgemeine Form: ax² + bx + c = 0. Es gibt 0, 1 oder 2 Lösungen.
Normalform & pq-Formel
Dividiert man durch a, erhält man die Normalform x² + px + q = 0.
pq-Formel
Für x² + px + q = 0:
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = (p/2)² − q.
- D > 0 → zwei Lösungen
- D = 0 → eine (doppelte) Lösung
- D < 0 → keine reelle Lösung
Beispiel
x² − 5x + 6 = 0
p = −5, q = 6
x = 5/2 ± √(25/4 − 6) = 2,5 ± √(0,25) = 2,5 ± 0,5
x₁ = 3, x₂ = 2Mitternachtsformel (abc-Formel)
Alternative für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0:
abc-Formel
x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Satz von Vieta
Für x² + px + q = 0 mit Lösungen x₁, x₂ gilt:
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = qWelche Formel?pq-Formel wenn der Koeffizient vor x² schon 1 ist. abc-Formel wenn er nicht 1 ist und du nicht dividieren willst.