Pearson r — die Standard-Korrelation
Definition · Pearson-Korrelationskoeffizient r
Standardisiert die Kovarianz, indem sie durch das Produkt der beiden Standardabweichungen geteilt wird. Ergebnis: dimensionslose Zahl zwischen −1 und +1.
r = Cov(X,Y) / (σₓ · σᵧ) = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / √[Σ(xᵢ−x̄)² · Σ(yᵢ−ȳ)²]Beispiel — Eisdiele aus Kapitel 2 weiterrechnen
- Cov = 164
- σₓ² = (16+4+0+4+16)/5 = 8 → σₓ = √8 ≈ 2.83
- σᵧ² = (5776+1296+256+1156+8836)/5 = 3464 → σᵧ ≈ 58.86
- r = 164 / (2.83 · 58.86) ≈ 0.985 → sehr stark positiv
Faustregel: |r| ≥ 0.7 = starkKlassisch: |r| < 0.3 schwach, 0.3-0.7 mittel, >0.7 stark, >0.9 sehr stark. Aber: Kontext zählt! In der Physik gelten r < 0.99 oft als „schwach", in den Sozialwissenschaften ist r = 0.4 schon „stark". Die Faustregel gilt für mittelgroße Datensätze in Wirtschaft/Medizin.
Eigenschaften
- Symmetrie: r(X, Y) = r(Y, X). Es gibt kein „abhängiges" und „unabhängiges" Variable.
- Skala-Invarianz: Verdopple alle x-Werte — r bleibt gleich.
- Misst nur lineare Abhängigkeit. Eine Parabel y = x² hat r ≈ 0.
- Empfindlich gegen Ausreißer: ein einziger Punkt kann r dramatisch ändern.
Bonus · Bestimmtheitsmaß r²
Quadrierst du r, bekommst du r² (in Prozent ausgedrückt): „so viel Prozent der Variation in y wird durch x erklärt". Bei r = 0.7 → r² = 0.49 → 49 % erklärte Varianz. r² ist die Brücke zur linearen Regression.