Kapitel 3 · Streuungsmaß 2

Varianz — die mittlere quadratische Abweichung

Definition · Varianz (σ²)

Berechne für jeden Wert die Abweichung vom Mittelwert. Quadriere sie (damit sich Vorzeichen nicht aufheben). Bilde den Mittelwert. Das Ergebnis ist die Varianz.

σ² = (1/n) · Σ (xᵢ − x̄)²

Schritt-für-Schritt

Datenreihe: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 · n = 8

Mittelwert: x̄ = 40 / 8 = 5
Abweichungen vom Mittel: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
Quadrieren: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
Summe: 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
σ² = 32 / 8 = 4

🤔

Warum quadrieren statt Betrag?Quadrierte Werte „bestrafen" große Ausreißer härter als kleine Abweichungen — das macht σ² mathematisch handlich (Ableitungen, Optimierung). Außerdem sind alle weiterführenden Verfahren (Regression, ANOVA, ...) auf dem Quadrat aufgebaut.

Stichproben-Varianz (s²) vs. Populations-Varianz (σ²)

In Statistik-Klausuren begegnet dir oft eine zweite Formel mit n−1statt n im Nenner — das ist die korrigierte Stichproben-Varianz:

s² = (1/(n−1)) · Σ (xᵢ − x̄)²

Faustregel: hast du alle Daten der Grundgesamtheit (z.B. Noten allerSchüler einer Klasse) → n. Hast du nur eine Stichprobe(z.B. 30 zufällig ausgewählte Bürger aus 80 Mio.) → n−1. In der Praxis nimmt fast jeder s² (n−1), weil reine Vollerhebungen selten sind.

Schwäche der Varianz

Die Einheit ist verquer: misst du Tagesumsatz in €, ist die Varianz in €² — wer rechnet schon mit „Quadrat-Euro"? Genau dafür gibt es im nächsten Kapitel die Standardabweichung.