Praxis — Würfel & Kontingenztafel
Aufgabe 1 — Geburtsmonat
Du fragst dich, ob Sportler in bestimmten Monaten häufiger geboren werden. Aus 240 Profis: Q1 (Jan-Mar): 80, Q2: 70, Q3: 50, Q4: 40. Test mit α=0.05.
Lösung
Erwartet je Quartal: 240/4 = 60.
χ² = (80−60)²/60 + (70−60)²/60 + (50−60)²/60 + (40−60)²/60 = 6.67 + 1.67 + 1.67 + 6.67 = 16.7.
df = 3, χ²krit = 7.81. 16.7 > 7.81 → H₀ verwerfen. Geburtsverteilung nicht gleichmäßig.
Aufgabe 2 — Raucher × Bronchitis
200 Personen befragt: Raucher mit Bronchitis 30, ohne 50. Nichtraucher mit 20, ohne 100.
Lösung
2x2-Tafel:
Σ Raucher = 80, Σ Nichtraucher = 120, Σ mit B. = 50, Σ ohne = 150.
E(R, mit) = 80·50/200 = 20. E(R, ohne) = 60. E(NR, mit) = 30. E(NR, ohne) = 90.
χ² = (30−20)²/20 + (50−60)²/60 + (20−30)²/30 + (100−90)²/90 = 5 + 1.67 + 3.33 + 1.11 = 11.1.
df = 1, χ²krit = 3.84. 11.1 > 3.84 → H₀ verwerfen. Bronchitis und Rauchen nicht unabhängig.
Aufgabe 3 — Mendel-Erbsen
Mendel beobachtete 556 Erbsen: 315 rund-gelb, 108 rund-grün, 101 kantig-gelb, 32 kantig-grün. Theorie: 9:3:3:1.
Lösung
Erwartet: 9/16·556 = 312.75, 3/16·556 = 104.25, 3/16·556 = 104.25, 1/16·556 = 34.75.
χ² = (315−312.75)²/312.75 + (108−104.25)²/104.25 + (101−104.25)²/104.25 + (32−34.75)²/34.75 ≈ 0.016 + 0.135 + 0.101 + 0.218 ≈ 0.47.
df = 3, χ²krit = 7.81. 0.47 ≪ 7.81 → H₀ nicht verwerfen. Mendels Theorie passt zu den Daten.
Anpassung: df = k − 1.
Unabhängigkeit: df = (r−1)(c−1).
Voraussetzung: alle E ≥ 5. Sonst Fisher.
Geschafft! Im nächsten Kurs „Statistik 2 · ANOVA"lernst du, wie man mehr als zwei Gruppen vergleicht — die natürliche Erweiterung des t-Tests.