Unabhängigkeitstest (Kontingenztafel)
Anwendung
Du hast zwei kategoriale Merkmale (z.B. Geschlecht × Wahl) und willst prüfen, ob sie unabhängig sind.
df = (r − 1) · (c − 1)r = Zeilen, c = Spalten der Kontingenztafel.
Beispiel — Geschlecht × Sport-Präferenz
200 Personen befragt:
| Fußball | Tennis | Yoga | Σ | |
|---|---|---|---|---|
| Männer | 50 | 20 | 10 | 80 |
| Frauen | 30 | 40 | 50 | 120 |
| Σ | 80 | 60 | 60 | 200 |
Erwartete Häufigkeiten unter H₀ (Unabhängigkeit): E_{ij} = (Zeilensumme · Spaltensumme) / n.
- E(Männer, Fußball) = 80 · 80 / 200 = 32
- E(Männer, Tennis) = 80 · 60 / 200 = 24
- E(Männer, Yoga) = 80 · 60 / 200 = 24
- E(Frauen, Fußball) = 120 · 80 / 200 = 48
- ...
χ² = (50−32)²/32 + (20−24)²/24 + (10−24)²/24 + (30−48)²/48 + (40−36)²/36 + (50−36)²/36 = 10.125 + 0.667 + 8.167 + 6.75 + 0.444 + 5.444 = 31.6.
df = (2−1)(3−1) = 2. χ²krit, 0.05; 2 = 5.99.
31.6 ≫ 5.99 → H₀ verwerfen. Geschlecht und Sportvorliebe sind nicht unabhängig.
Cramér's V — Stärke des Zusammenhangsχ² sagt nur „signifikant ja/nein". Für die Stärke nimmt man Cramér's V = √(χ² / (n · min(r−1, c−1))). Werte zwischen 0 und 1 — wie ein Korrelationskoeffizient für Kategorien.