KI für μ — t-Verteilung (kleine n, σ unbekannt)
Bei kleiner Stichprobe (n < 30) und unbekanntem σ benutzt du Stichproben-σ s statt σ und ersetzt z durch t:
Formel · KI für μ (t-Variante)
KI = x̄ ± t1−α/2; n−1 · s/√nFreiheitsgrade df = n − 1. Aus t-Tabelle abzulesen.
t-Verteilung vs. z-Verteilungt hat „dickere Schwänze" als z — kompensiert die zusätzliche Unsicherheit durch s statt σ. Für n → ∞ konvergiert t gegen z. Faustregel: ab n ≥ 30 sind die Unterschiede vernachlässigbar.
Beispiel
n = 16, x̄ = 105, s = 12. 95 % KI für μ?
- df = 15. t0.975; 15 = 2.131 (aus Tabelle).
- SE = 12 / √16 = 3.
- Margin: 2.131 · 3 = 6.39.
- KI = [98.61, 111.39]
Im Vergleich: mit z (was hier falsch wäre) → KI = 105 ± 1.96·3 = [99.12, 110.88]. Schmaler, aber statistisch unzulässig bei kleiner n.