KI für μ — z-Verteilung (große n oder σ bekannt)
Formel · KI für μ (z-Variante)
KI = x̄ ± z1−α/2 · σ/√nVoraussetzungen: σ bekannt oder n > 30 (zentraler Grenzwertsatz).
Schritt-für-Schritt
Aus einer Stichprobe (n = 100) misst du x̄ = 75 Punkte, σ = 10. Bestimme das 95 % KI für μ.
- Standardfehler: SE = 10 / √100 = 1.
- z für 95 %: z = 1.96.
- Margin of Error: 1.96 · 1 = 1.96.
- KI = 75 ± 1.96 = [73.04, 76.96]
Aussage: „Wir sind zu 95 % sicher, dass der wahre Mittelwert μ zwischen 73.04 und 76.96 Punkten liegt" — wobei „95 % sicher" eine besondere Bedeutung hat (siehe Interpretation-Sektion).
Wirkungsfaktoren
- Größere n: KI wird enger (SE schrumpft).
- Größere σ: KI wird breiter (mehr Streuung).
- Höheres Konfidenzniveau: KI wird breiter (z wird größer).