Die großen Sätze von Gauß und Stokes
Satz von Gauß (Divergenz-Satz)
Gesamter Fluss durch geschlossene Hülle = Volumenintegral der Divergenz.
∮_∂V F · dA = ∫_V div F dVAnschaulich: Was an Quellen im Volumen entsteht, muss durch die Oberfläche ausströmen.
Satz von Stokes
Linienintegral entlang Rand einer Fläche = Flächenintegral der Rotation.
∮_∂S F · dr = ∫_S rot F · dAAnschaulich: Die „Zirkulation" entlang des Randes wird durch die Wirbel im Inneren der Fläche erzeugt.
VerbindungBeide Sätze verallgemeinern den Hauptsatz der Analysis (∫₀ᵇf'dx = f(b)−f(a)) auf höhere Dimensionen — Volumen ↔ Hülle, Fläche ↔ Rand.
Anwendungen
- Maxwell-Gleichungen (alle vier nutzen diese Sätze).
- Strömungsmechanik: Massenerhaltung, Impulserhaltung.
- Elektrotechnik: Berechnung von elektrischen Feldern aus Ladungsverteilungen.
- Thermodynamik: Wärmestromberechnung.