Rotation — Wirbelstärke im Feld
Definition · Rotation (im ℝ³)
Vektorgröße, die die lokale Wirbelstärke und -richtung misst.
rot F = (∂F₃/∂y − ∂F₂/∂z, ∂F₁/∂z − ∂F₃/∂x, ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y)Anschaulich
Stell dir ein kleines Schaufelrad an einem Punkt im Strömungsfeld vor. rot F sagt dir: dreht es sich? In welche Richtung? Wie schnell?
rot F = 0 → wirbelfrei (z.B. Schwerkraftfeld)
rot F ≠ 0 → hat Wirbel (z.B. Tornado, Wasserstrudel)Konservatives FeldWenn rot F = 0 (in einfach zusammenhängendem Gebiet), dann ist F = ∇φ für ein Skalarfeld φ — ein Potential. Beispiel: Schwerkraft, elektrostatisches Feld.
Beispiel
F(x, y, z) = (−y, x, 0) (Wirbel um z-Achse)
rot F = (0 − 0, 0 − 0, 1 − (−1)) = (0, 0, 2)
→ Wirbelstärke 2, Achse: z-Achse. Genau wie ein rotierendes Wasserrad.