Praxis — Klausuraufgaben

1. Divergenz: F = (x², y², z²). Berechne div F.
   Lösung

   div F = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z).

2. Rotation: F = (yz, xz, xy). Berechne rot F.
   Lösung

   rot F = (x − x, y − y, z − z) = (0, 0, 0). Konservativ! Potential = xyz.

3. Konservativ?: Ist F = (3x², 2y, 1) konservativ? Wenn ja, finde φ.
   Lösung

   rot F = (0, 0, 0). Ja, konservativ. φ = x³ + y² + z + C.

4. Gauß-Anwendung: Fluss von F = (x, y, z) durch Einheitskugel?
   Lösung

   Gauß: Fluss = ∫∫∫ div F dV = ∫∫∫ 3 dV = 3 · (4π/3) = 4π.

5. Laplace: Δ(x² + y² + z²) = ?
   Lösung

   Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² = 2 + 2 + 2 = 6.

6. Maxwell-Form: Welche der vier Maxwell-Gleichungen besagt, dass es keine magnetischen Monopole gibt?
   Lösung

   div B = 0.

7. Stokes-Anwendung: ∮ F·dr = ? für F = (−y, x, 0) entlang Einheitskreis (in xy-Ebene)?
   Lösung

   Stokes: = ∫∫ rot F·dA. rot F = (0, 0, 2). Über Einheitskreis: 2 · π = 2π.